SPH算法简介（二）: 粒子受力分析

SPH算法的基本设想，就是将连续的流体想象成一个个相互作用的微粒，这些例子相互影响，共同形成了复杂的流体运动，对于每个单独的流体微粒，依旧遵循最基本的牛顿第二定律。

\begin{matrix} (2.1) & m \vec{a} = \vec{F} \end{matrix}

这是我们分析的基础，在SPH算法里，流体的质量是由流体单元的密度决定的，所以一般用密度代替质量

\begin{matrix} (2.2) & ρ \vec{a} = \vec{F} \end{matrix}

这里的的作用力F的量纲发生变化，正常情况下，“力”的量纲 $d i m F = M T^{- 2} L$ ，而在这里 $d i m F = M T^{- 2} L^{- 2}$ ，后面的分析都是用这个量纲的“作用力”，这一点一定要注意。作用在一个微粒上的作用力由三部分组成

\begin{matrix} (2.3) & \vec{F} = {\vec{F}}^{e x t e r n a l} + {\vec{F}}^{p r e s s u r e} + {\vec{F}}^{v i s c o s i t y} \end{matrix}

其中 ${\vec{F}}^{e x t e r n a l}$ 称为外部力，一般就是重力

\begin{matrix} (2.4) & {\vec{F}}^{e x t e r n a l} = ρ \vec{g} \end{matrix}

${\vec{F}}^{p r e s s u r e}$ 是由流体内部的压力差产生的作用力，试想一下在水管中流动的液体，进水口区域的压力一定会比出水口区域大，所以液体才会源源不断的流动，数值上，它等于压力场的梯度，方向由压力高的区域指向压力低的区域。

\begin{matrix} (2.5) & {\vec{F}}^{p r e s s u r e} = - \nabla p \end{matrix}

${\vec{F}}^{v i s c o s i t y}$ 是由粒子之间的速度差引起的，设想在流动的液体内部，快速流动的部分会施加类似于剪切力的作用力到速度慢的部分，这个力的大小跟流体的粘度系数 $μ$ 以及速度差有关

\begin{matrix} (2.6) & {\vec{F}}^{v i s c o s i t y} = μ \nabla^{2} \vec{u} \end{matrix}

带入公式2.2，可以得到

\begin{matrix} (2.7) & ρ \vec{a} = ρ \vec{g} - \nabla p + μ \nabla^{2} \vec{u} \end{matrix}

加速度形式：

\begin{matrix} (2.8) & \vec{a} = \vec{g} - \frac{\nabla p}{ρ} + \frac{μ \nabla^{2} \vec{u}}{ρ} \end{matrix}

如果你学习过流体力学，一定会发现上面这个公式就是Navier-Stokes方程的一个简单形式，但N-S方程有更严格的形式和推导过程，感兴趣的朋友可以从流体力学相关的书中找到，这里有一篇比较比较浅显的文档可以参考，经过联系作者flysea，拿到这篇文档的原始文件放在这里，再次感谢flysea的帮助。
实际运算过程中，有时还要考虑表面张力的影响，所谓表面张力大家应该并不陌生，肥皂泡、毛细管等有趣的物理现象都跟表面张力有关，这个力可以简单理解为流体试图减小表面而产生的力。

由于表面张力只涉及到表层的粒子，所以计算方法和上面的有所不同，这部分会在以后的章节介绍。
经过上面的分析，我们基本上搞清楚了SPH粒子的运动计算方法，下节我们将正式开始介绍SPH算法的关键部分，如何通过光滑核函数计算粒子运动规律。