基础

1. 坐标系统

1.1 坐标系统

光栅化的本质，是将经过摄像机变换后物体从NDC坐标，转换到二维屏幕空间坐标系(screen space)，并离散成一个个像素点的过程。

屏幕空间的坐标系通常左下角为 $(0, 0)$ 点， $x$ 轴向右， $y$ 轴向上，每个像素可以视作1x1的小方块，像素的中心点的位置是像素左下角位置加上0.5

2. 三角形

2.1 顺时针和逆时针

在屏幕空间上，一个二维的三角形，可以使用3个二维坐标表示 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2}), P_{3} (x_{3}, y_{3})$ ，按照这个顺序，可以分为逆时针(ccw)，顺时针(cw)两种情况

可以使用叉积来判断三个点的顺序是逆时针还是顺时针，如果 $\vec{P_{1} P_{2}} \times \vec{P_{2} P_{3}} > 0$ ，表示是逆时针，如果小于零则是顺时针，也就是 $(x_{2} - x_{1}) (y_{3} - y_{2}) - (y_{2} - y_{1}) (x_{3} - x_{2})$ 是否大于 $0$ ，在一般情况下，都是使用逆时针。

2.2 面积

根据叉积的几何意义，三角形面积同样可以利用叉积计算

S_{△} = \frac{1}{2} ∥ \vec{A B} \times \vec{A C} ∥ = \frac{1}{2} | (x_{2} - x_{1}) (y_{3} - y_{1}) - (y_{2} - y_{1}) (x_{3} - x_{1}) |

2.3 重心坐标

给定三角形的三点坐标 $A, B, C$ ，该平面内一点 $P$ 可以写成这三点坐标的线性组合形式，即

P = α A + β B + γ C

且满足 $α + β + γ = 1$ 则称此时3个坐标 $A, B, C$ 的权重 $α, β, γ$ 为点 $P$ 的重心坐标

重心坐标用于将三角形三个顶点上的属性（例如UV,法线，定点色等）均匀过渡到三角形内的任一点，重心坐标可以使用面积的比值来求得

α = \frac{S_{△ P B C}}{S_{△ A B C}}, β = \frac{S_{△ P A C}}{S_{△ A B C}}, γ = \frac{S_{△ P A B}}{S_{△ A B C}},

2.4 透视矫正

三角形上点的经过透视投影变换后，重心坐标会发生变换

比如上面这个长方体的侧面，原先均匀分布的竖线，经过透视变换后，在屏幕上不再是均匀分布，说明重心坐标发生了变化。

设摄像机空间中的三角形 $A B C$ ,经过透视投影矩阵 $M$ 变换后，成为三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，三角形上的点 $P$ 变成 $P^{'}$ ，设 $A$ 点的齐次坐标为 $(A, 1)^{T}$ ， $A^{'}$ 点的齐次坐标为 $(A^{'} w_{a}, w_{a})^{T}$ ，可知

\begin{matrix} (2.4.1) & \begin{aligned} [\begin{array}{c} A^{'} w_{a} \\ w_{a} \end{array}] & = M [\begin{array}{c} A \\ 1 \end{array}] \\ [\begin{array}{c} B^{'} w_{b} \\ w_{b} \end{array}] & = M [\begin{array}{c} B \\ 1 \end{array}] \\ [\begin{array}{c} C^{'} w_{c} \\ w_{c} \end{array}] & = M [\begin{array}{c} C \\ 1 \end{array}] \\ [\begin{array}{c} P^{'} w_{p} \\ w_{p} \end{array}] & = M [\begin{array}{c} P \\ 1 \end{array}] \end{aligned} \end{matrix}

设 $P$ 的重心坐标为 $α, β, γ$ ，经过透视投影变换后， $P^{'}$ 的重心坐标为 $α^{'}, β^{'}, γ^{'}$ ，可知

\begin{matrix} (2.4.2) & \begin{aligned} P & = α A + β B + γ C \\ P^{'} & = α^{'} A^{'} + β^{'} B^{'} + γ^{'} C^{'} \end{aligned} \end{matrix}

由于 $α + β + γ = 1$ ，可以推导出如下公式

\begin{aligned} α [\begin{array}{c} A \\ 1 \end{array}] + β [\begin{array}{c} B \\ 1 \end{array}] + γ [\begin{array}{c} C \\ 1 \end{array}] & = [\begin{array}{c} α A \\ α \end{array}] + [\begin{array}{c} β B \\ β \end{array}] + [\begin{array}{c} γ C \\ γ \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} α A + β B + γ C \\ α + β + γ \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} P \\ 1 \end{array}] \end{aligned}

代入2.4.1可以得到

\begin{matrix} (2.4.3) & \begin{aligned} [\begin{array}{c} P^{'} w_{p} \\ w_{p} \end{array}] = M [\begin{array}{c} P \\ 1 \end{array}] & = M (α [\begin{array}{c} A \\ 1 \end{array}] + β [\begin{array}{c} B \\ 1 \end{array}] + γ [\begin{array}{c} C \\ 1 \end{array}]) \\ = α M [\begin{array}{c} A \\ 1 \end{array}] + β M [\begin{array}{c} B \\ 1 \end{array}] + γ M [\begin{array}{c} C \\ 1 \end{array}] \\ = α [\begin{array}{c} A^{'} w_{a} \\ w_{a} \end{array}] + β [\begin{array}{c} B^{'} w_{b} \\ w_{b} \end{array}] + γ [\begin{array}{c} C^{'} w_{c} \\ w_{c} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} α A^{'} w_{a} + β B^{'} w_{b} + γ C^{'} w_{c} \\ α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c} \end{array}] \end{aligned} \end{matrix}

所以可以得到

\begin{matrix} (2.4.4) & \begin{aligned} P^{'} w_{p} & = α A^{'} w_{a} + β B^{'} w_{b} + γ C^{'} w_{c} \\ w_{p} & = α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c} \end{aligned} \end{matrix}

进一步求 $P^{'}$ 的重心坐标，根据2.4.4可以得到

\begin{matrix} (2.4.5) & \begin{aligned} P^{'} & = \frac{α w_{a}}{w_{p}} A^{'} + \frac{β w_{b}}{w_{p}} B^{'} + \frac{γ w_{c}}{w_{p}} C^{'} \\ = \frac{α w_{a}}{α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c}} A^{'} + \frac{β w_{b}}{α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c}} B^{'} + \frac{γ w_{c}}{α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c}} C^{'} \end{aligned} \end{matrix}

可以得到

\begin{matrix} (2.4.6) & {\begin{cases} α^{'} & = \frac{α w_{a}}{α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c}} \\ β^{'} & = \frac{β w_{b}}{α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c}} \\ γ^{'} & = \frac{γ w_{c}}{α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c}} \end{cases} \end{matrix}

但是在光栅化过程中，需要计算的是从 $P^{'}$ 的重心坐标 $(α^{'}, β^{'}, γ^{'})$ 推导出 $P$ 的重心坐标 $(α, β, γ)$ ，首先设

k = \frac{1}{α w_{a} + β w_{b} + γ w_{c}}

代入2.4.6可以得到

{\begin{cases} α^{'} & = α w_{a} k \\ β^{'} & = β w_{b} k \\ γ^{'} & = γ w_{c} k \end{cases}

\begin{matrix} (2.4.7) & {\begin{cases} α & = \frac{α^{'}}{w_{a} k} \\ β & = \frac{β^{'}}{w_{b} k} \\ γ & = \frac{γ^{'}}{w_{c} k} \end{cases} \end{matrix}

由于 $α + β + γ = 1$ ，所以将2.4.7中的 $α, β, γ$ 相加可以得到

\begin{aligned} 1 & = \frac{α^{'}}{w_{a} k} + \frac{β^{'}}{w_{b} k} + \frac{γ^{'}}{w_{c} k} \\ = (\frac{α^{'}}{w_{a}} + \frac{β^{'}}{w_{b}} + \frac{γ^{'}}{w_{c}}) \frac{1}{k} \end{aligned}

求得 $k$ 值为

\begin{matrix} (2.4.8) & k = \frac{α^{'}}{w_{a}} + \frac{β^{'}}{w_{b}} + \frac{γ^{'}}{w_{c}} \end{matrix}

代入2.4.7，可以得到

\begin{matrix} (2.4.9) & {\begin{cases} α & = \frac{\frac{α^{'}}{w_{a}}}{\frac{α^{'}}{w_{a}} + \frac{β^{'}}{w_{b}} + \frac{γ^{'}}{w_{c}}} \\ β & = \frac{\frac{β^{'}}{w_{b}}}{\frac{α^{'}}{w_{a}} + \frac{β^{'}}{w_{b}} + \frac{γ^{'}}{w_{c}}} \\ γ & = \frac{\frac{γ^{'}}{w_{c}}}{\frac{α^{'}}{w_{a}} + \frac{β^{'}}{w_{b}} + \frac{γ^{'}}{w_{c}}} \end{cases} \end{matrix}

观察以往推导出的透视投影矩阵公式(10.2.3.2)

M = [\begin{matrix} \frac{1}{aspect \cdot \tan (f o v / 2)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan (f o v / 2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f a r}{n e a r - f a r} & \frac{n e a r \cdot f a r}{n e a r - f a r} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix}]

可以看出，矩阵最后一行只有第3列是-1其他都是0，可以得知，这个矩阵生成的 $w$ 值只和 $z$ 有关，且 $w = - z$ ，所以

\begin{matrix} (2.4.10) & {\begin{cases} α & = \frac{\frac{α^{'}}{z_{a}}}{\frac{α^{'}}{z_{a}} + \frac{β^{'}}{z_{b}} + \frac{γ^{'}}{z_{c}}} \\ β & = \frac{\frac{β^{'}}{z_{b}}}{\frac{α^{'}}{z_{a}} + \frac{β^{'}}{z_{b}} + \frac{γ^{'}}{z_{c}}} \\ γ & = \frac{\frac{γ^{'}}{z_{c}}}{\frac{α^{'}}{z_{a}} + \frac{β^{'}}{z_{b}} + \frac{γ^{'}}{z_{c}}} \end{cases} \end{matrix}