TheCodeWay:我的博客

        最近在工作中遇到这么一个问题：
        在游戏场景中有一个怪物生成点，这个生长点产生的怪物均匀分布在半径为R的圆形内，这个随机算法应该如何生成？看起来很简单，随手写了一个：

        但写的过程中，直觉告诉我，这么写肯定是有问题的，试想，如果以北京为例，如果所有居住在北京的人都报出自己家和天安门的距离，那么这些数据肯定不是均匀分布的，因为居住在五环附近的人数肯定要大于居住在二环附近的人数，于是用Mathamatica实验一下：

        果然，这么写是不对的，网上查了一下，这个问题还真是有人研究过，说应该把所获得的随机数开平方一下，实验一下：

        但是，这个开平方背后的数学原理究竟是什么呢？抽空翻了下概率书，原来，其中的道理并不复杂，这里涉及到概率里的一个基本概念，累计分布函数（Cumulative distribution function），简称CFD，它的定义如下：
        设有一个随机变量\(X\)，它的取值范围是从负无穷到正无穷，如果把它的值小于\(x\)的概率表达为一个函数\(F(x)\)，那么这个函数就称为\(X\)的累计分布函数
\begin{equation}
F(x)=P(X\leq x)
\end{equation}

        以最为常见的均匀分布概率为例，设均匀分布的随机变量\(X\)的取值范围是\([a,b]\)，那么它的累计分布函数以及函数图像是

\begin{equation} F(x)=\begin{cases} 0 & {x < a} \\ \frac{x-a}{b-a} & {a\leq x < b}\\ 1 & {b\leq x} \end{cases} \end{equation}

        对于一个累计分布函数，符合以下规律

• \(\begin{equation} 0\le F(x)\le 1 \end{equation}\)
• \(F(x)\)单调递增
• \(\begin{equation} \lim\limits_{x \to -\infty}{ F(x)=0} , \lim\limits_{x \to +\infty}{ F(x)=1} , \end{equation}\)

        回到我们的问题中，假设怪物产生的范围的半径为\(R\)，随机产生一只怪物时，它和中心的距离是一个随机变量\(X\)，显然，对于怪物均匀分布的情况，\(X\)落在半径为\(x\)的圆内的概率，等于半径为\(x\)小圆和半径为\(X\)的大圆的面积之比

        也就是说
\begin{equation}
F(x)=P(X\leq x)=x^2/R^2
\end{equation}
        现在我们手头上只有均匀概率的随机数产生器，要想产生这么个随机数需要用到一个很巧妙的运算，就是反函数。设随机变量\(u\)是一个均匀分布在[0,1]之间的随机数，另一个随机变量\(X=F^{-1}(u)\),现在我们需要证明\(X\)的累计分布函数是\(F(x)\)
        证明如下
\begin{equation}\begin{split}
P(X\le x) & = P(F^{-1}(u)\le x) \\
& = P(u\le F(x)) \\
& = F(x)
\end{split}\end{equation}
        初看起来有点复杂，其实在下面的图上可以很直观的理解这个过程：


        这是利用了\(F(x)\)是单调递增函数的特性，在我们的问题中，\(F(x)\)的反函数可以表达为
\begin{equation}F^{-1}(u)=R\sqrt{u}\end{equation}
        所以最终的算法可以写成