群(Group)

群的定义

群(Group)是一个对象集合G，并且包含了一种运算○，定义如下

集合$G$和运算$\circ$构成，一起成为群$(G,\circ )$，前提时满足下面的条件

1. 封闭律：$\mathrm{\forall }a,b\in G$，有$a\circ b\in G$
2. 结合律：$\mathrm{\forall }a,b,c\in G$，有$a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
3. 单位元律：存在唯一元素$e\in G$，使得$\mathrm{\forall }a\in G$，均有$a\circ e=e\circ a=a$，元素$e$成为单位元
4. 可逆律：$\mathrm{\forall }a\in G$，存在$\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G$，使得$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$，其中$a^{-1}$称为$a$的逆元

在表示群$(G,\circ )$时，通常省略运算符号，用$G$表示

阿贝尔群

如果群中的元素满足交换律，也就是对所有的$a,b\in G$,均有$a\circ b=b\circ a$,那么该群称为阿贝尔群（Abelian group)

重复运算的简化

令$G$是运算$\circ$下的一个群，那么对于任一元素$a\in G$，非负整数$i\in \mathbb{N}$, a和自己做i次$\circ$运算,可以表达为$a^i\in G$, $a^i=a\circ a\circ a\circ \dots \circ a$，对于加法群，$a^i=a\times i$

常用群

1. 整数群: 整数集$\mathbb{Z}$在加法下的群$(\mathbb{Z},+)$，其中$e=0,a^{-1}=-a$,同样
2. 有理数群: 可以表达为两个整数的商的数称为有理数群，用$\mathbb{Q}$表示，其他还有自然数群$\mathbb{N}$, 实数群$\mathbb{R}$，复数群$\mathbb{C}$，在加法运算下$\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$
3. 整数模n加法群: 对于任意$n\ge 1$，${\mathbb{Z}}_n$表示所有整数模n的集合，完整表示为$({\mathbb{Z}}_n,+(\mathrm{mod}n))$，单位元$e=0$，逆元$a^{-1}=n-a$
   1. ${\mathbb{Z}}_n=(\{0,1,2,\dots ,n-1\},+(\mathrm{mod}n))$
   2. $\mathrm{\#}{\mathbb{Z}}_n=n$
4. 整数模n乘法群(Multiplicative group of integers modulo n) : ${\mathbb{Z}}_n$中所有与n互质的元素构成一个有限乘法群，这里的乘法指模n乘法，用${\mathbb{Z}}_n^{\ast }$表示，例如${\mathbb{Z}}_{15}^{\ast }=(\{1,2,4,7,8,11,13,14\},\ast (\mathrm{mod}15))$
   1. 如果p是质数，那么${\mathbb{Z}}_p^{\ast }=(\{1,2,3,\dots ,p-1\},+(\mathrm{mod}p)),\mathrm{\#}{\mathbb{Z}}_p^{\ast }=p-1$
   2. 如果$pq$是质数，$n=pq$，那么根据欧拉定理${\mathbb{Z}}_n^{\ast }$里元素的个数为$\varphi (n)=(p-1)(q-1)$
   3. ${\mathbb{Z}}_{12}^{\ast }=\{1,5,7,11\}$