群(Group)
群的定义
群(Group)是一个对象集合G,并且包含了一种运算○,定义如下
集合
- 封闭律:
,有 - 结合律:
,有 - 单位元律:存在唯一元素
,使得 ,均有 ,元素 成为单位元 - 可逆律:
,存在 ,使得 ,其中 称为 的逆元
在表示群
阿贝尔群
如果群中的元素满足交换律,也就是对所有的
重复运算的简化
令
常用群
- 整数群: 整数集
在加法下的群 ,其中 ,同样 - 有理数群: 可以表达为两个整数的商的数称为有理数群,用
表示,其他还有自然数群 , 实数群 ,复数群 ,在加法运算下 - 整数模n加法群: 对于任意
, 表示所有整数模n的集合,完整表示为 ,单位元 ,逆元 - 整数模n乘法群(Multiplicative group of integers modulo n) :
中所有与n互质的元素构成一个有限乘法群,这里的乘法指模n乘法,用 表示,例如- 如果p是质数,那么
- 如果
是质数, ,那么根据欧拉定理 里元素的个数为
- 如果p是质数,那么