最近再看加密算法的时候本来想写一篇关于RSA算法的，后来发现阮一峰写的这篇文章实在是太好了，就直接转载到这里了
原文链接：http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
作者： 阮一峰
日期： 2013年6月27日
如果你问我，哪一种算法最重要？
我可能会回答”公钥加密算法“。
因为它是计算机通信安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。
进入正题之前，我先简单介绍一下，什么是”公钥加密算法”。
一、一点历史
1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：
（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密
由于加密和解密使用同样规则（简称”密钥”），这被称为”对称加密算法“（Symmetric-key algorithm）。
这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。
1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为”Diffie-Hellman密钥交换算法“。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。
这种新的加密模式被称为”非对称加密算法”。
（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。
如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。
1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。
这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。
下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点数论知识就可以理解。
二、互质关系
如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。
关于互质关系，不难得到以下结论：
1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。
三、欧拉函数
请思考以下问题：
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以\(\phi(n)\)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以\(\phi(n)=4\)。
\(\phi(n)\)的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1，则\(\phi(1)=1\)。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数，则\(\phi(n)=n-1\)。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方，即\(n=p^k\) (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}\tag{1.1}\)
比如\(\phi(8) = \phi(2^3) =2^3 – 2^2 = 8-4 = 4\)。
这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有\(p^{k-1}\)个，即\(1\times p,2\times p,3\times p,\ldots,p^{k-1}\times p\)，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式：
\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})\tag{1.2}\)
可以看出，上面的第二种情况是k=1时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积，\(n=p_1\times p_2\)，则
\(\phi(n)=\phi(p_1p_2)=\phi(p_1)\phi(p_2)\tag{1.3}\)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，\(\phi(56)=\phi(8\times 7)=\phi(8)\times\phi(7)=4\times 6=24\)。
这一条的证明要用到”中国剩余定理“，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有\(\phi(p_1)\)种可能，b的值有\(\phi(p_2)\)种可能，则数对 (a,b) 有\(\phi(p_1)\phi(p_2)\)种可能，而c的值有\(\phi(p_1 p_2)\)种可能，所以\(\phi(p_1 p_2)\)就等于\(\phi(p_1)\phi(p_2)\)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
\begin{equation}n=p_1^{k1}p_2^{k2}\ldots p_r^{kr}\end{equation}
根据公式1.3，得到
\begin{equation}\phi(n)=\phi(p_1^{k1})\phi(p_2^{k2})\ldots\phi(p_r^{kr})\end{equation}
在根据公式1.2，得到
\begin{equation}\phi(n)=p_1^{k1}p_2^{k2}\ldots p_r^{kr}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots(1-\frac{1}{p_r})\end{equation}
也就等于
\begin{equation}\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots(1-\frac{1}{p_r})\tag{1.4}\end{equation}
就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：
\begin{equation}\phi(1323)=\phi(3^3\times 7^2)=1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7})=756\end{equation}
四、补充：同余定理
这部分是原文中没有的
同余是初等数论的基本概念之一，设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若a与b除m余数相同，则记为
\begin{equation}a\equiv b\pmod{m}\end{equation}
这个式子称为模m的同余式，比如\(26\equiv 14\pmod{12}\)
同余式有一些常用得性质，比如说如果\(a_1\equiv b_1\pmod{m}, a_2\equiv b_2\pmod{m}, \ldots, a_n\equiv b_n\pmod{m} \)，则
\begin{equation}a_1+a_2+\ldots+a_n\equiv (b_1+b_2+\ldots+b_n)\pmod{m} \\
a_1a_2\ldots a_n\equiv (b_1 b_2\ldots b_n)\pmod{m}\tag{1.5}\end{equation}
五、欧拉定理
欧拉函数的用处，在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是：
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数\(\phi(n)\) 可以让下面的等式成立：
\(a^{\phi(n)}\equiv1\pmod n\tag{1.6}\)
也就是说，a的\(\phi(n)\)次方被n除的余数为1。或者说，a的\(\phi(n)\)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数\(\phi(7)\)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。
欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。
欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，
\begin{equation}7^{\phi(10)}\equiv1\pmod {10}\end{equation}
已知\(\phi(10)=4\)，根据公式1.5，也就是同余式可以相乘的特性，马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。
\begin{equation}7^{4k}\equiv1\pmod {10}\end{equation}
因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。
由于\(7^{222}=7^{4×55+2}\)，而且\(7^{4k}\equiv1\pmod {10}, 7^{2}\equiv9\pmod {10}\)，所以\(7^{4\times55+2}\equiv(\underbrace{1\times 1\times\ldots\times 1}_{55}\times 9)\pmod{10}\)，可以得出结论，7^222得尾数为9
欧拉定理有一个特殊情况。
假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成
\begin{equation}a^{p-1}\equiv 1\pmod p\tag{1.7}\end{equation}
这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。
欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。
六、模反元素
还剩下最后一个概念：
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
\begin{equation}ab\equiv1\pmod {n}\end{equation}
这时，b就叫做a的”模反元素“。
比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。
欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。
\begin{equation}a^{\phi(n)}\equiv a\times a^{\phi(n)-1}\equiv1\pmod {n}\end{equation}
可以看到，a的 \(\phi(n)-1\) 次方，就是a的模反元素。
好了，需要用到的数学工具，全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识，就是上面这些，下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。